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¿Qué son las subvariedades reales de Kähler y cuál es su importancia?

Se establece un punto de partida para llevar a cabo un estudio sistemático de estas subvariedades geométricas con el objetivo final de realizar una clasificación. Esto reviste gran importancia debido a las aplicaciones de las subvariedades de Kähler en el campo de la física teórica.

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Variedades de Kahler, Teoría de cuerdas

Las variedades de Kähler son objetos geométricos de gran importancia debido a sus aplicaciones en la física teórica, especialmente en el campo de la teoría de cuerdas. Gracias al estudio de estos objetos, Shing Tung Yau fue galardonado con la medalla Fields. Un objetivo ambicioso es clasificar una subclase de las variedades de Kähler denominada subvariedades reales de Kähler.

Desde la introducción de las variedades de Kähler en 1930, este objeto ha ido ganando popularidad debido a sus aplicaciones en la física teórica, especialmente en el campo de la teoría de cuerdas. Si consideramos su importancia en los temas actuales de la física, es sorprendente que aún no se tenga una clasificación de estos objetos.

Aún más sorprendente es la inexistencia de una clasificación para una subclase importante de las variedades de Kähler llamadas subvariedades reales de Kähler. Estas subvariedades se caracterizan por estar dentro del espacio euclidiano. Por este motivo, es de vital importancia lograr avances en la búsqueda de esta clasificación. Luego, se presenta un punto de partida para llevar a cabo un estudio sistemático de esta subclase. Dicho punto de partida se establece imponiendo ciertas restricciones a la nulidad de las proyecciones de la segunda forma fundamental asociada.

Para lograr este objetivo, se estudian las formas bilineales planas, las cuales surgen de manera natural de las subvariedades reales de Kähler. La clave radica en obtener estimaciones sobre el núcleo de estas formas bilineales, de manera similar a lo que se hace en el Teorema del Núcleo y la Imagen del Álgebra Lineal. Como resultado adicional, se obtienen estimaciones sobre la plurinulidad. Estas estimaciones permiten establecer condiciones sobre la segunda forma fundamental para concluir que la subvariedad de Kähler es holomorfa.

Como aplicación del resultado obtenido, se presentan las condiciones que deben cumplir las subvariedades reales de Kähler para ser holomorfas. Esto significa que estas subvariedades heredan una estructura compleja del espacio ambiente. Según un resultado presentado en la tesis seminal de Calabi, ser una variedad holomorfa en el espacio euclideano implica que la variedad es rígida. Ser rígido significa que no hay forma de deformar el objeto sin rasgarlo o estirarlo. Esto implica que los objetos que cumplen estas condiciones son únicos y, por lo tanto, no existen muchos de ellos.

Otro punto importante es que el resultado anterior supone un avance en la conjetura formulada por Yan y Zheng hace algunas décadas. Ellos conjeturaron que las subvariedades reales de Kähler que cumplen ciertas condiciones sobre la nulidad de la segunda forma fundamental se pueden extender. En estos estudios, estudiar objetos de mayores dimensiones resulta más fácil, luego es importante tener condiciones que implican que el objeto se extiende. Los resultados obtenidos parecen apuntar a que la conjetura pueda ser verdadera. En los próximos años, se podrá determinar si la conjetura es verdadera o falsa.

Con el resultado obtenido se consigue un gran avance en lo referente a la clasificación de las subvariedades de Kähler. En particular, debe de ser de gran utilidad para lograr resolver la conjetura propuesta por Yan y Zheng sobre la extensión de estos objetos.

DATO: Este artículo se basa en la investigación Holomorphicity of real Kaehler submanifolds realizada por el Dr. Alcides De Carvalho, el Dr. Sergio Chión Aguirre, docente e investigador de Centrum PUCP y el Dr. Marcos Dajczer

REFERENCIAS

De Carvalho, A., Chion, S. & Dajczer, M. (2023). Holomorphicity of real Kaehler submanifolds. The Annali della Scuola Normale Superiore di Pissa, Classe di Scienze, 24(2), 821-837. https://doi.org/10.2422/2036-2145.202105_013 Recuperado de: https://journals.sns.it/index.php/annaliscienze/article/view/5753

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